Εκ της αλληλογραφίας

Συντάκτης:

Σπύρος Μανουσέλης

Πώς συνδέεται η πραγματικότητα των Μαθηματικών με την πραγματικότητα των φυσικών επιστημών και της φιλοσοφίας; Τα Μαθηματικά είναι απλώς ένα «εργαλείο» ή, έστω, μια αυστηρή αλλά αφηρημένη «γλώσσα» για την περιγραφή της πραγματικότητας που μελετούν οι επιμέρους επιστήμες;

Σε αυτή την περίπτωση, μήπως έχει δίκιο ο μεγάλος σύγχρονος φιλόσοφος Βιτγκενστάιν όταν υποστήριζε ότι «τα όρια του κόσμου μου είναι τα όρια της γλώσσας μου»; Αραγε, τα όρια αλλά και οι δυνατότητες της μαθηματικής γλώσσας προδιαγράφουν τα όρια ή τις δυνατότητες της επιστημονικής σκέψης;

                      Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος

Τις αμφίδρομες -αλλά συνήθως αδιαφανείς- σχέσεις ανάμεσα στα Μαθηματικά, την Επιστήμη και τη Φιλοσοφία διερευνά το τελευταίο βιβλίο του Γιώργου Ευαγγελόπουλου «Μαθηματικά: θεωρητική ή πρακτική επιστήμη, εντέλει;», που κυκλοφόρησε πρόσφατα από τις εκδόσεις Ευρασία.

Με αφορμή την έκδοση αυτού του μικρού αλλά πυκνότατου σε ιδέες βιβλίου, ζητήσαμε από τον συγγραφέα του να μας μιλήσει τόσο για τη μετέωρη επιστημολογικά θέση των Μαθηματικών όσο και για την καθοριστική σημασία τους στο ανθρώπινο γνωστικό οικοδόμημα.

• Ποια ήταν τα κίνητρα και οι στόχοι που θέσατε όταν αποφασίσατε να δημοσιεύσετε το κείμενο που υπάρχει στο νέο σας βιβλίο;

Από τότε που ήμουν μαθητής με «παραξένευε» έως με «δυσαρεστούσε» η κατάταξη των Μαθηματικών στις πρακτικές επιστήμες, με βάση τη διάκριση μεταξύ θεωρητικών και πρακτικών επιστημών που συνήθως έκαναν οι καθηγητές μου.

Μου ήταν προφανές ότι τα Μαθηματικά είναι ως προς τη φύση της η πιο αφαιρετική επιστήμη κι όμως έχει εφαρμογές σε πλήθος άλλων επιστημών. Επίσης, τα «σύνορα» μεταξύ Θεωρητικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών μετατοπίζονται συνεχώς, ανάλογα με τις εξελίξεις στο μέτωπο της έρευνας και στους δύο αυτούς χώρους.

Στο νέο βιβλίο μου επιχειρώ να δώσω κάποια ενδεικτικά παραδείγματα –τα περισσότερα των οποίων είναι ελάχιστα γνωστά στο ευρύτερο κοινό- για ν’ αποδείξω ότι τα Μαθηματικά όχι μόνον αποτελούν τη «γλώσσα» της Φυσικής, αλλά τυγχάνουν εφαρμογής στην Πληροφορική, τις Βιοϊατρικές και Φαρμακευτικές Επιστήμες, τα Οικονομικά, τα Νομικά αλλά και τη Φιλοσοφία.

Υπάρχουν, ασφαλώς, και πολλές άλλες επιστήμες όπου εφαρμόζονται τα Μαθηματικά, όπως η Χημεία, η Ανθρωπολογία, η Ψυχολογία, η Παλαιοντολογία, κ.ά., όμως κάπου έπρεπε να βάλω μια τελεία.

Το πιο εντυπωσιακό, κατά τη γνώμη μου, παράδειγμα του βιβλίου αφορά το πώς από την απόδειξη της καθολικής μη γραμμικής ευστάθειας του χώρου Μινκόφσκι στη Θεωρία της Σχετικότητας, που έκανε ο Δημήτρης Χριστοδούλου από κοινού με τον Sergiu Klainerman, ο πρώτος οδηγήθηκε στη διατύπωση του επονομαζόμενου «φαινομένου μνήμης Χριστοδούλου» (Christodoulou memory effect).

Αντιλαμβάνεστε, ασφαλώς, πόσο σημαντικό θα ήταν να επιβεβαιωθεί πειραματικά η μη γραμμική φύση των βαρυτικών κυμάτων, τώρα που τα βαρυτικά κύματα, που προβλέπονται από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν, ανιχνεύτηκαν χάρη στο πείραμα LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory). Με βάση τα παραπάνω, είχε άδικο o Eric Temple Bell όταν χαρακτήριζε τα Μαθηματικά βασίλισσα αλλά και θεραπαινίδα της Επιστήμης (1) ;

• Τόσο από το βιβλίο σας, όσο και από την προηγούμενη απάντησή σας, προκύπτει ότι αντιδράτε αρνητικά στο να κατατάσσονται τα Μαθηματικά στις λεγόμενες «πρακτικές» ή, ακόμη χειρότερα, στις «θετικές» επιστήμες, ακριβώς λόγω των ποικίλων εφαρμογών τους σε αυτές. Μου δίνετε την εντύπωση ότι υιοθετείτε την άποψη πως τα Μαθηματικά αποτελούν ένα γνωστικά αυτόνομο και σχεδόν «παράλληλο» σύμπαν. Μήπως είστε πλατωνιστής;

Στην εξαιρετική αυτή ερώτησή σας απαντώ ειλικρινώς ότι εμένα μ’ ενδιαφέρουν περισσότερο τα ίδια τα Μαθηματικά παρά η Φιλοσοφία τους. Ταυτόχρονα, είμαι απολύτως αντίθετος στην τάση πολλών μαθηματικών να υποτιμούν την αξία της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών ως αυτόνομου -και διανοητικά πολύ απαιτητικού- γνωστικού αντικειμένου.

Παρότι παρακολουθώ, όσο ο χρόνος μου το επιτρέπει, τις συζητήσεις πάνω στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών -κυρίως μέσω του περιοδικού Philosophia Mathematica-, δεν είμαι εντούτοις φιλόσοφος των Μαθηματικών, ώστε να έχω πιο στέρεη άποψη για τη φύση των Μαθηματικών και της μαθηματικής δραστηριότητας.

Και το λέω παρά το γεγονός ότι είχα την ιδέα και την πρωτοβουλία για την έκδοση στα ελληνικά του δοκιμίου του Gian-Carlo Rota, Μαθηματικά και Φιλοσοφία – Το χρονικό μιας παρανόησης (με πρόλογο δικό μου και επίμετρο της εξαιρετικής φιλοσόφου των Μαθηματικών, Δήμητρας Χριστοπούλου (2)), προκειμένου να γνωρίσει το ελληνικό κοινό αυτόν τον σπουδαίο μαθηματικό, εκ των θεμελιωτών του κλάδου της Συνδυαστικής Ανάλυσης (Combinatorial Analysis), που υπήρξε φαινομενολόγος, κυρίως χουσερλιανός, όσον αφορά τη φιλοσοφική του προσέγγιση στα Μαθηματικά. Για να συνοψίσω την απάντησή μου στο ερώτημά σας, δεν δηλώνω ούτε πλατωνιστής ούτε αντι-πλατωνιστής oύτε οτιδήποτε άλλο.

• Γνωρίζετε καλά ότι ο Κορνήλιος Καστοριάδης, εν αντιθέσει προς τον Πλάτωνα και τους πλατωνιστές, υποστήριζε ότι τα Μαθηματικά δεν είναι σε θέση να περιγράψουν πλήρως την εκ φύσεως πολύτροπη και ευμετάβλητη στον χρόνο πραγματικότητα. Αν δεν κάνω λάθος διαφωνείτε ριζικά με αυτή την άποψη του μεγάλου Ελληνα φιλοσόφου. Γιατί;

Πριν πω πού διαφωνώ με τον Καστοριάδη ως προς τον ορισμό που δίνει στα Μαθηματικά, επιτρέψτε μου να υπογραμμίσω ότι πάντοτε θαύμαζα την προσπάθειά του να κατανοήσει αρκετά από τα επιτεύγματα των Μαθηματικών, όπως και της Φυσικής, στις τεχνικές τους λεπτομέρειες, εφόσον οι γνώσεις του για κάτι τέτοιο επαρκούσαν. «Εργάζεται κανείς κατά το δυνατόν», συνήθιζε να μου λέει, συνειδητοποιώντας πλήρως τους περιορισμούς που, από τη φύση της, συνεπαγόταν μια τέτοια προσπάθεια.

Ο Καστοριάδης ήθελε να κατανοεί τις αποδείξεις των μαθηματικών θεωρημάτων, αντιλαμβανόμενος ότι αυτές θέτουν και τα όρια της «εφαρμοσιμότητάς» τους (π.χ., όσον αφορά τη δυνατότητα «εφαρμογής» του θεωρήματος της μη πληρότητας του Gödel σε άλλα γνωστικά αντικείμενα, πέραν των Μαθηματικών). Κάποτε μου ζήτησε, στο μέσο της συνέντευξης που μου παραχωρούσε για τη σχέση Φιλοσοφίας και Επιστήμης (3), να του παρουσιάσω, εάν την ήξερα, την απόδειξη του θεωρήματος Löwenheim-Skolem στη Μαθηματική Λογική.

Για ν’ απαντήσω τώρα στο ερώτημά σας, οφείλω να διευκρινίσω ότι ο Καστοριάδης θεωρούσε ότι το Ον διαιρείται στη φυσική και τη βιολογική στοιβάδα, η οποία περιγράφεται επιτυχώς από τα Μαθηματικά, ενώ η ανάδυση-δημιουργία νέων μορφών στις δύο άλλες στοιβάδες του Οντος, την ψυχική και την κοινωνικο-ιστορική, μπορεί να περιγραφεί μόνον με την «επιστράτευση» της εννοίας του «μάγματος», που ο ίδιος επινόησε.

Επειδή θεωρούσε ότι τα Μαθηματικά στηρίζονται στην, κατ’ αυτόν «περιοριστική», συνολο-ταυτιστική λογική, όπως την αποκαλούσε, έδωσε τον ακόλουθο ορισμό του μάγματος: «Μάγμα είναι αυτό από το οποίο μπορούμε να εξαγάγουμε (ή: μέσα στο οποίο μπορούμε να κατασκευάσουμε) συνολιστικές οργανώσεις απροσδιόριστου αριθμού, αλλά που δεν μπορεί ποτέ να ανασυγκροτηθεί (ιδεατά) με συνολιστική (πεπερασμένη ή άπειρη) σύνθεση αυτών των οργανώσεων».

Εν προκειμένω, λοιπόν, έχω δύο παρατηρήσεις, στις οποίες και μόνον περιορίζονται οι διαφωνίες μου με τον Καστοριάδη. Πρώτον, όπως ορθά παρατήρησε ο Δ. Αναπολιτάνος στον Καστοριάδη, «τα Μαθηματικά δεν είναι κατ’ ανάγκην συνολοταυτιστικά, ακόμη και με την τετριμμένη έννοια που εκείνος αποδίδει στον όρο.

Ολόκληρες περιοχές των Μαθηματικών –βλ. ιντουισιονιστικά Μαθηματικά, περατοκρατικά Μαθηματικά, ασαφή ή, αλλιώς, συγκεχυμένα (fuzzy) σύνολα κ.λπ.– οικοδομούνται είτε σε λογικές αρχές πολύ ασθενέστερες των ισοδυνάμων της αρχής της ταυτότητας ή της αρχής της μη αντίφασης, είτε σε έννοιες που δεν έχουν ως βάση τους την καντοριανή έννοια του συνόλου στην έστω κατά Zermelo-Fraenkel εκλεπτυσμένη της μορφή» (4).

Δεύτερον, οφείλουμε να λάβουμε υπ’ όψιν τον ολοένα αυξανόμενο ρόλο της μαθηματικής θεωρίας των κατηγοριών στην επαναδιατύπωση και συσχέτιση διάφορων κλάδων των Μαθηματικών. Ας υπενθυμίσω ότι ειδοποιό χαρακτηριστικό της θεωρίας κατηγοριών είναι ότι τα στοιχεία μιας κατηγορίας δεν επιλέγονται επειδή ικανοποιούν κοινές ιδιότητες (όπως στη θεωρία συνόλων) αλλά προσδιορίζονται αποκλειστικά από τον καθορισμό των μεταξύ τους σχέσεων.

Με άλλα λόγια, στη θεωρία κατηγοριών δεν επικεντρωνόμαστε σε δομές παρά σε σχέσεις μεταξύ δομών (5). Επέλεξα να κάνω αυτήν ειδικά την αναφορά στη θεωρία κατηγοριών διότι θεωρώ πολύ πιθανό ότι ο παραπάνω τρόπος ταυτοποίησης των στοιχείων μιας κατηγορίας θα ενδιέφερε τον Καστοριάδη, καθώς θα μπορούσε να τον οδηγήσει σε αναθεώρηση κι ενδεχομένως ακριβέστερη διατύπωση του περιεχομένου της έννοιας του μάγματος.

• Στις μέρες μας, είναι εξαιρετικά σπάνιο και απρόσμενο ένα άτομο που έχει δεχτεί κυρίως ανθρωπιστική παιδεία -εξάλλου, τυπικά και επαγγελματικά είστε νομικός!- να ενδιαφέρεται με τέτοιο πάθος αλλά και να αφιερώνει τόσο χρόνο στην έρευνα σημαντικών μαθηματικών προβλημάτων. Πώς προέκυψε η ανάγκη ενασχόλησής σας με τα Μαθηματικά;

Κατ’ αρχάς, σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια, αλλά επειδή η λέξη «νομικός» έχει ένα μάλλον ιδιαίτερο βάρος, θα επέλεγα να αυτοπροσδιοριστώ, κάπως πιο μετριοπαθώς, ως πτυχιούχος της Νομικής Αθηνών, με μεταπτυχιακό στις Ευρωπαϊκές Σπουδές από το LSE και διδακτορικό στις Διεθνείς Σχέσεις από το ίδιο Πανεπιστήμιο.

Αυτά είναι τα τυπικά μου προσόντα, χωρίς όμως να αντικατοπτρίζουν απολύτως τα κάπως ευρύτερα πνευματικά μου ενδιαφέροντα.

Συγκεκριμένα, το ενδιαφέρον μου για τα Μαθηματικά ξεκινά από την παιδική μου ηλικία. Αργότερα εντυπωσιάστηκα από τη γεωμετρική δομή της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, ενώ όσον αφορά τη Μαθηματική Λογική, με συνήρπασαν εγκαίρως οι αποδείξεις των θεωρημάτων της μη πληρότητας και μη αποφασισιμότητας του Kurt Gödel.

Για να μη νομίσει κανείς ότι απαιτούνται πολύ προχωρημένες γνώσεις στα Μαθηματικά, προκειμένου να κατανοήσει το θεώρημα μη πληρότητας, ας μου επιτραπεί, επ’ ευκαιρία, να συστήσω σε κάθε ενδιαφερόμενο αναγνώστη το εξαιρετικό βιβλίο του V. A. Uspensky, «Gödel’s Incompleteness Theorem» (της εκπληκτικής σειράς «Little Mathematics Library» των ρωσικών εκδόσεων MIR), το οποίο είχαν κάποτε εκδώσει στα ελληνικά οι εκδόσεις «Τροχαλία», ενώ υπάρχει «ελεύθερο» και στο Διαδίκτυο (6).

Πάντως, ας σημειωθεί ότι όσο παράξενο και ν’ ακούγεται στην Ελλάδα το ν’ ασχολείται κάποιος που έχει σπουδές στα Νομικά με τα Μαθηματικά, αυτό οφείλεται αποκλειστικά στις «διανοητικές αγκυλώσεις» που προκαλεί η δομή του εκπαιδευτικού μας συστήματος και, ιδίως, στο σύστημα των εισαγωγικών μας εξετάσεων στα ΑΕΙ.

Σ’ ένα «ευέλικτο» εκπαιδευτικό σύστημα σαν το αμερικανικό, κάτι τέτοιο φαντάζει απολύτως φυσιολογικό. Αρκετοί καθηγητές του Δικαίου σε Πανεπιστήμια των ΗΠΑ αλλά και ανώτατοι δικαστικοί έχουν κάνει πρώτες σπουδές στα Μαθηματικά ή σε κάποια άλλη από τις αποκαλούμενες θετικές επιστήμες.

Για παράδειγμα, ο ονομαστός καθηγητής του Συνταγματικού Δικαίου στο Πανεπιστήμιο Harvard και συγγραφέας της κλασικής πραγματείας, «American Constitutional Law», Lawrence Henry Tribe, έχει πρώτο πτυχίο στα Μαθηματικά και, μάλιστα με βαθμό summa cum laude.

Κλείνοντας, θέλω πολύ να σας ευχαριστήσω για την τιμητική για μένα και, ελπίζω, ενδιαφέρουσα για τους αναγνώστες σας συζήτησή μας, και να σας συγχαρώ για την υψηλού επιπέδου και τόσο σημαντική για τον πολιτισμό μας ενημέρωση που παρέχετε στο αναγνωστικό σας κοινό για θέματα επιστήμης.

Βιβλιογραφικές παραπομπές

1. Eric Temple Bell, Mathematics: Queen and Servant of Science, Mathematical Association of America, Washington, 1996 [1952].

2. Gian-Carlo Rota, Μαθηματικά και Φιλοσοφία – Το χρονικό μιας παρανόησης, Εκδόσεις Ευρασία, Αθήνα, 2015.

3. Κορνήλιος Καστοριάδης, Φιλοσοφία και Μαθηματικά – Ενας διάλογος με τον Γεώργιο Λ. Ευαγγελόπουλο, δεύτερη-αναθεωρημένη έκδοση, Εκδόσεις Ευρασία, Αθήνα, 2010 [2004].

4. Διονύσιος Α. Αναπολιτάνος, Απάντηση στον Κορνήλιο Καστοριάδη, στο Δ. Αναπολιτάνος, Λαβύρινθοι, γνωσιολογικά ρήγματα, φιλοσοφικά σπαράγματα και παραμυθίες – 29 κείμενα φιλοσοφίας, Εκδοτική Αθηνών Α.Ε., Αθήνα, 2016, σελ. 126.

5. Γιώργος Λ. Ευαγγελόπουλος, Μαθηματικά και Φυσική, μια ιδιαίτερη σχέση – Με αφορμή σκέψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη, Εκδόσεις Ευρασία, Αθήνα, 2010, σελ. 75-77.

6. Βλέπε: https://archive.org/details/Godels Incomple tenessTheorem